Cultura: filosofía y matemática

¿Cuál es el objeto de las matemáticas?

Esta pregunta, que pide por una definición, ha quedado por siempre en espera de ella y es que no es posible el obtenerla, pues la matemática no es una ciencia como puede serlo la astronomía o la biología, sino que es la más peculiar de ellas. Hay que hablar de su forma y método para entender el significado; pero lo más admirable es que, en realidad, se trata de la expresión máxima de la cultura de un pueblo y está en conexión con la filosofía que ha desarrollado.

Un planteamiento

Debemos tratar la matemática como una ciencia del espíritu, y por tanto el reflejo del acondicionamiento de éste por el mundo cuando está frente a él. Entenderemos “mundo” como un compendio de lo existente, y la visión que el hombre tiene sobre ello, sus relaciones y consecuencias entre sí: así el espíritu puede desplegar científicamente las posibilidades de ese mundo en determinado tiempo, puede concebir y llegar en su tratamiento a la máxima madurez, pero le es totalmente imposible modificarlo, en la base. Tomemos de ese “mundo” “los conceptos de cultura y filosofía como expresión sensible y realizada por él”.

Estas expresiones globales son las que van a condicionar el espíritu; esto es, lo van a formar, le van a indicar qué es lo que existe y cómo debe comportarse frente a cada cosa existente; o qué concebir y hacer frente a los hechos o situaciones de relación que se presenten.

Así el hombre, guiado por el espíritu, habría tomado a priori una determinación en su forma de enfocar el “mundo”; y siendo la matemática una de las mejores expresiones del conjunto cultura-filosofía, determina dentro de cierto margen el esquema mental del hombre a través del espíritu, y este hombre así formado a su vez, va a pulir y refinar la matemática desde el apriorismo en que está encauzado; sin embargo, no podrá cambiarlo radicalmente, totalmente, pues debería de salirse de su marco y trasladarse a otro, cuyo componente ignora y ni siquiera podrá imaginar, si no cuenta con etapas de transición, que van a ser dadas en todo caso por las muy peculiares situaciones del paso de una cultura a otra, del paso de un conjunto de sistemas filosóficos a otro; si no ocurre esto, no podrá cambiar de referenciales, así, es necesario dicho vehículo.

Es posible mostrar esto de manera patente y clara estudiando en la historia, la cual no es más que la realización de la cultura posible, los grandes sistemas matemáticos que han existido, y cómo han sido acondicionados.

Pensemos, en primer lugar, en la matemática y el número Griego: Para el griego no existía la idea de infinito como nosotros la concebimos, sino que pensaba en el “espacio” limitado (el griego ni siquiera tenía palabra para designar el espacio). Las figuras manejables, triángulos, esferas, etc… eran su objeto de estudio, y entre éstas la forma más perfecta era el círculo, figura cerrada y limitada, en que plasmaban mucha de su visión al mundo: el año era un círculo, el problema máximo del griego era la cuadratura del círculo, etc…. Se tenía una visión de ser; y así el número griego “es” porque tiene que ser asequible a visión eidética; por eso no existen números reales sino los enteros, y en cambio el número π o el mismo e, son irracionales y serían considerados números que se están formando, son imperfectos.

El griego no ve la línea recta como algo que se extiende indefinidamente, sino como segmentos finitos, que pueden servir en su matemática geométrica.

Es claro que la matemática como geometrización o figura eidética era el compendio de su cultura, el número era la medida y la estatuaria y la arquitectura griega no era más que la debida proporción entre medidas.

La idea del número, por tanto, conlleva a su geometría de figuras finitas. ¿Podría el griego, dentro de este “mundo” construir una integral o una función? ¿Podría haber desarrollado los postulados de la física actual, sin concebir la línea recta?

El próximo paso que aparece en la Historia es la invasión de la cultura árabe en el ámbito de la matemática. El árabe al igual que el griego ha construido su propio sistema como reflejo del “mundo” en que vive. Para esta cultura la idea de Alá es la central: es lo único que es, sólo Alá es permanente; todo cuanto hay fuera de él es perecedero, puede variar. Variar significa que al fin y al cabo dejarán de existir en algún momento, al azar de las circunstancias en cierto modo.

Recuérdese lo peculiar en el arte árabe, los arabescos; sin figuras abiertas que comienzan, dan vueltas o hacen figuras caprichosas y terminan algo indeterminadamente, implican un camino y cambio continuo, tienen algo de mágico, concepto tan arraigado en el árabe; pensemos en los famosos cuentos de Las Mil y Una Noches, donde de continuo se habla de genios sumisos, pero donde los entes por ellos creados están, permanecen en el tiempo, mientras ellos quieran.

Diofanto así “crea” el álgebra (año 250, siglo 3.º de la cultura árabe) como teoría de cantidades indeterminadas: ha desterrado la idea griega del número como representación de una magnitud dada, para usarlo como representante de cualquier cosa que se le quiera asignar (idea de indeterminación); sólo entonces será posible hablar de sistemas de ecuaciones, mediante los cuales se resolverán problemas (específicos) muy generales, y aplicarlos luego a casos específicos.

El mundo moderno

Al llegar el mundo moderno, ha cambiado el panorama general que se ha preparado desde la edad media, donde su teocentrismo apuntaba como las catedrales góticas, a lo infinito. Sin embargo, permanecen las ideas antiguas de la finitud del mundo, tal es así que Copérnico construye su universo pensando en formas esféricas, cerradas y mundos restringidos a esas formas fijas, pero prepara el hecho de que el tiempo va a ligarse con el espacio y hasta ocupar el lugar privilegiado que tenía en el pensamiento antiguo; así como Oresme nace la idea de función, que será la predominante en la modernidad, y en la cual se ligan dos magnitudes: el tiempo y la media con lo cual predecir el futuro de un hecho mental en la relación.

Este cambio lo deja ver muy claro Kepler, quien en sus famosas ideas astronómicas propone la elipse sobre la circunferencia, como forma natural en el recorrido de los astros por el Universo. En la idea de elipse lo que resalta es el tiempo sobre lo espacial geométrico, contra toda la idea griega sobre este punto.

Con este prefacio se abre el libro de la matemática moderna. Descartes, es su primer tratadista. Sus ideas de una geometría son, en realidad, ideas algebraicas e ideas de funciones entre entes que pueden tener también significado geométrico. Así por ejemplo una figura espacial no es más que un conjunto de variables en un sistema de coordenadas. En este espacio en el cual es posible la idea de rectas que se extienden indefinidamente, conteniendo cada segmento de recta infinitos puntos que lo forman (ideas que son aplicables luego al campo de la física), van a dar por resultado el cálculo infinitesimal de Newton y Leibnitz, imprescindibles en la ciencia de la modernidad. Pero téngase en cuenta que son, en todo momento, el resultado del influjo de una cultura que le da forma de una filosofía que lo sustenta en sus raíces formales.

En los siglos XVII y XVIII este proceso de formación de un “mundo” va a llegar a su apogeo, dándole una forma definida: Euler, Lagrange y Laplace son el reflejo dado por Espinoza, Locke, Hume con su empirismo y Kant como idealista, dentro de la cultura de Haydn y Mozart.

Es la culminación del pensamiento, y dentro de la matemática será la depuración del mundo formal de los números.

Con los siglos XIX y XX, nuestro mundo está maduro, se considera llegado a su plenitud; Gauss, Cauchy y Rieman, en matemática, se salen totalmente del campo de los sentidos, la intuición inmediata parece haberse dado de lado y aparece la culminación de las teorías generales; espacios n-dimensionales, espacios sin límites aunque finitos de Rieman. Se habla ahora de los grandes grupos de transformaciones en matemáticas, el álgebra moderna estudiará su mecanismo con ideas de geometría y funciones plasmado en un todo, la Topología estudiará esas grandes estructuras. Se refinará y profundizará todo cada vez más.

¿Cuál es nuestra situación?

La cultura sufre esta situación, la filosofía quiere buscar nuevas vías pero se ha quedado en el estudio cada vez más amplio de la Metafísica y parece haber una extinción de la fuerza creadora del espíritu; ideales éticos sociales de la vida, propios de las culturas que han llegado a su máxima plenitud, escepticismo.

Es el mundo de una existencia sin forma interior nueva. Ha pasado el mundo de los grandes matemáticos pioneros, y la labor de los actuales es de conservación, pulimento, selección. Labor de minucioso talento que sustituye a las grandes creaciones que implican la formación de nuestras estructuras generales propias de otro sistema.

¿Hemos llegado a la necesidad de un cambio como resultado del fin de una época? Si es así, sabemos que habrá que sustituir el marco que tiene el espíritu para saber del mundo, por otro construido por el nuevo “mundo” que todavía no conocemos. Si tratáramos de atisbar a través de las ciencias, inmediatamente, nos damos cuenta que no nos será posible: éstas están absolutamente ligadas a la matemática-reflejo de una cultura que toca a su fin. ¿Dónde debemos concurrir? ¿A la filosofía igualmente presa? ¿Al arte de vanguardia? ¿A la destrucción de lo existente?

El problema del hombre actual debe centrarse en tratar de conocer un nuevo camino para su propio destino. Hay que tratar de abrir las puertas de su actual enclaustramiento y, sin embargo, sabe que todavía no puede elegir la adecuada, pues no sabe dónde está.

Delfín Moronta

Transcripción fiel del original impreso. Puedes ver la página tal como salió en el PDF del número.